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微积分起源问题

【本文关键词】金沙国际手机官网,卡瓦列里  来源:http://www.cdhone.com  作者:金沙国际手机官网   发布时间:2020-10-24

  摘要: 回顾了古代东西方微积分思想的萌芽和微积分创立前夕欧洲的思想社会背景,论述了微积分先驱者的重要贡献,指出最高的一步归功于牛顿、莱布尼兹,谨以此文纪念今年12月25日牛顿诞生362周年。

  微积分学的核心概念之一——极限,其理论的完善得力于19世纪柯西(1789-1857,Cauchy.A.L)和魏尔斯特拉斯(1815-1879,Weierstrass,K)的工作,但极限的观念、思想可以追溯到遥远的古代。

  公元前五世纪古希腊的安提丰(Antiphon)提出“穷竭法”,前四世纪由欧多克斯(前408-355,Eudoxus)作了补充和完善,他们用来求平面圆形的面积和立体的体积。方法记载在欧几里得(前4-3世纪Euclid)的《几何原本》中,公元前三世纪阿基米得(前287-212,Archimedes)用“穷竭法”求圆的面积,认为圆的面积与正内接(外切)多边形面积之差可以被“竭尽”,得圆周率约等于3.14。西方人在17世纪(1647年)时称这种没有极限步骤,但给出证明蕴含极限思想的求积方法为“穷竭法”。中国前四世纪春秋战国时代学者惠施称:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,(见《庄子·天下篇》)引出收敛的数列1[]2,1[]22,…,1[]2n,…。主席1997年访美时,11月1日在哈佛大学发表演讲,说“记得我在高中读书时,老师给我们讲微积分,第一课就是讲《庄子》中的‘一尺之棰,日取其半,万世不竭’,很形象地使我建立起极限的概念,”指出:“我们的先人对自然界的认识已达到相当高的水平。”安提丰的“穷竭法”和惠施的“一尺之棰”都是极限思想的滥觞。至公元三世纪,三国魏人刘徽作《九章算术》注,提出“割圆术”,以圆的内接正6×2n-1 (n=1,2……)边形的面积An近似单位圆的面积π(π≈An),算到6×25=192边形,得π≈157/50或3.14,又进一步算到6×29=3072边形,得到一个相当于3.14159的分数。刘徽认为:“割之弥细,失之弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”[1]。即n愈大,π-An愈小;n→∞,π-An→0,则An→π,剩余面积可以被“竭尽”,这种思想也含有积分的雏形。刘纯称之为“无穷分割求和原理”。刘徽的工作影响较大,后来有祖冲之更好的结果。众所周知,当代专家对“割圆术”的兴趣有增无减,有钱宝琮[2]、杜石然[3]的文章,有李约瑟(Joseph Needham)[4]的论述,有2000年出版的王能超的专著《千古绝技“割圆术”》。

  积分思想,源自欧多克斯的穷竭法。古希腊最接近积分的是阿基米得于前225年求抛物线弓形面积的工作,他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形,这三角形与剩余空间同底同高,这样无限进行下去,最后的三角形就非常小了,他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子,用了几何级数1+1[]4+1[]42+…+1[]4n+…=3[]4。

  中国古代思想家荀况(前313-238)的《荀子·大略》中有“尽小者大,积微者著”一语(使我们想起荀子的另一些名言:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海”),之后何承天(370-447)“积微之量”一说也继承这种思想。至11世纪宋代沈括(1031-1095)在《梦溪笔谈》中也提到“造微之术”,当代英国著名科学史专家李约瑟博士认为,他的思想和600年后微积分先驱者卡瓦列里(1598-1647,Cavalieri,B)的无穷小求和相当,沈括知道,分割的单元愈小,所求得的体积、面积愈精确。上述这些思想尽管没有导致微积分在中国诞生,但对近代(清)李善兰将西方微积分学介绍到国内,著《代微积拾级》,首创“微分”、“积分”等许多贴切的中文译名不无影响,也说明我国古代微积分的观念发端甚早,渊源很深。

  古代由几何问题引起极限,微积分等观念思想的萌芽的出现,所用方法本质上是静态的,只有牛顿(1642-1727,Newton,I)、莱布尼兹(1646-1716,Leibniz,G,W)在他们的先驱者所做工作的基础上,发展成动态分析的方法。

  15-16世纪的文艺复兴运动使欧洲的精神文化面貌发生了深刻的变化,对自然界的研究蓬勃开展,数学也活跃起来了。这一时期,人们的独立思考和自由探讨的精神得到了发扬,对于过去的文化遗产,人们都投以审视的目光,然而,数学的逻辑严密性而赢得人们特殊的重视和信赖,都认为数学知识确定无疑,艺术三杰(达·芬奇、米开朗基罗、拉菲尔)之一达·芬奇(1452-1519,Da Vinci)指出“除非通过数学上的说明和论证,人们的探讨不能称为科学的。”达·芬奇为艺术大师,也精通数学,西画所采用的透视法就基于数学原理,据说达·芬奇的名作《最后的晚餐》,那个犹大就位于画面长度的0.618:0.382的分点处。当时人们都崇尚黄金分割,认为0.618蕴含着和谐之美。

  17世纪是从布鲁诺(1548-1600)捍卫哥白尼(1473-1543,Copernicus,N)的太阳中心说为线日,罗马鲜花广场)揭开序幕的,1632年,伽利略(1564-1642,Galileo.G)宣传哥白尼学说,出版《关于托勒密与哥白尼两大世界体系的对线年受罗马教庭迫害,他坚定的科学信念为后世所景仰。1979年,罗马教皇约翰·保罗二世提出为伽利略“平反”一桩冤案,历经三个多世纪,令人感概不已。

  教会势力对科学的迫害,阻挡不了人们对自然深入研究的热情,对数学感兴趣的,不仅有职业数学家和教师,还有业余爱好者。但由于历史的局限,当时的科学家不可能成为无神论者,古希腊的毕达哥拉斯(前572-497,Pythagras)称“万物皆数”,伽利略认为:数学是上帝用来书写宇宙的文学。他们相信上帝按数学方式设计了大自然,进行研究就是为了发现上帝赋予的次序与和谐,从混沌中发现有序是数学的伟大使命。

  在社会变革和生产力发展方面,1640年英国资产阶级革命爆发。1649年英王查理一世被处死,革命达到了高潮。欧洲一些国家处于资本主义上升时期,生产力得到空前发展,航海、工商业、工程建筑设计都发达起来,研究物体的运动和变化成了日益迫切的课题,力学在各门学科中首先兴盛,但它的进步必须依靠数学,各种实际问题(包括古老的天文学问题以及历史悠久的面积、体积测算)都要求数学引入新的概念,提出更有效的算法。

  就科学本身而言,十七世纪时开始了它的革命化-数学化的进程,笛卡儿(1596-1650,Descartes,R)说,科学的本质是数学;伽利略认为,任何科学分支都应在数学模型上取图案。伽利略、惠更斯(1629-1695,Huygens.C)、牛顿都相信,科学中演绎数学所起的作用比实验作用还要大。他们是科学数学化的推动者[5]。这种进程现在还在延续,并有加速的趋势。数学已渗透到生命科学,社会科学等过去从未涉足的领域。当时,以力学方面的需要为中心,至少有4类问题直接导致微积分的诞生。

  1已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度(还有反问题的求解)

  2曲线切线问题,透镜设计要考虑曲线的法线,实际上就是求切线,运动物体在任一点处的运动方向即该点的切线;炮弹射程问题:求获得最大射程的发射角,求行星离太阳最远最近距离(近日点、远日点)讨论函数的最大最小值。

  4曲线的弧长、曲线围成的平面图形的面积,曲面围成的立体体积,物体重心,引力等等。思想的解放、生产力的发展、科学的革命化促使人们去思索,解决这些迫切需要解决的问题,经过长时间的研究,讨论、酝酿,有关的知识渐渐积累起来了,一些最活跃的人物理当称为微积分学的先驱。

  笛卡儿年轻时在军队服役,那时他就孜孜不倦地研究数学,他说:“…我决心放弃那仅仅是抽象的几何,这就是说,不再去考虑那些仅仅用来练习思想的问题(指Euclid几何问题 --笔者注),我这样做,是为了研究另一种几何,即目的在于解释自然的几何。”笛卡儿经过多个日日夜夜的苦思冥想,在连续梦境的第二天,“开始懂得这惊人发现的道理。”这个惊人的发现即坐标几何即今称为解析几何[6]。笛卡儿创立的解析几何就要与传统的古希腊的几何决裂,1637年他出版了名著《更好地指导推理和科学真理的方法论》(简称《方法论》)有三个附录,其一为《几何》,表达了他(将代数用于几何)用方程表示曲线的思想。选定一条直线为基线,取一点A为原点,X为基线上的点到A的线段长度,过基线上的该点作一线段,与基线度),Y值即此线段的长。这样就引入了笛卡儿的坐标系,线段的另一端点就描出一条曲线。给定含X、Y的一个方程(X,Y≥0)都可以求出它的曲线,他着重于方程的轨迹(图形),在曲线领域内迈了一大步。此外,他还引入了变量(变数)的思想,称一些量为“未知和未定的量”,相当于现在的变量。恩格斯指出:“数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分就立刻成为必要的了。”[7]

  另一位创立者费马(1601-1665,Fermat,P.de)1629年提出解析几何的基本原理,他强调的是轨迹的方程,这与笛卡儿所考虑的恰好是解析几何相辅相成的两个方面,共同点为集中考察了含连续变量的不确定方程F(X,Y)=0,而不是韦达(1540-1603,F.Vieta)所研究的解为常数的一元二次方程,费马还研究了切线的作法,他的方法有现代微分学的形式,他是考虑函数在极值点附近的特性解决极植的第一个人⑻,认为“一个数量达到它的最大值或最小值的时刻,他的变化好像停止了”(即变化率为0,f′(x)=0)。

  伽利略是近代科学法论的奠基人,他的科学研究方式,第一个采用了实验和数学模型相结合的方法,甚至认为数学推导演绎比实验作用还要大,他用这种方法结合在比萨斜塔做的著名试验,指出落体的距离与时间的平方成正比,S=kt2,揭示了自由落体的规律,为近代的第一个数学模型,也具备函数概念的初步形式。事实上,他对问题作了抽象、简化,先不考虑阻力,然后再考虑有介质的情形。M.克莱因(Morris Kline)说“数学的抽象方法确实离开了现实,说也奇怪,当回到现实时,它却比所有因素考虑进去更有力。”牛顿等人也接受这种思想,认为科学研究不必要做太多的实验,重要的方法是数学的描述,牛顿的万有引力定律的发现是一个最成功的范例。

  17世纪求面积、体积、曲线,Kepler.J),他怀疑酒商的酒桶体积,发表《测量酒桶体积的新科学》,认为旋转体的体积是非常薄的圆盘体积之和(“无限多个无限小元素之和”),卡瓦列里(1598-1647,Cavalieri.B)求积提出不可分量法,认为面积是无数个等距平行线段构成的。线是由点构成的,就象链由珠子穿成一样;面是由直线构成的,就象布由线织成一样。立体是由平面构成的,就象书由页组成一样。卡瓦列里的理论是欧多克斯的“穷竭法”到牛顿、莱布尼兹过渡。托里拆利(1608-1647,Torricelli,E)对他的方法作了改进,更接近于现代积分。帕斯卡(1623-1662,Pascal,B)将纵坐标之和发展为无限多个矩形之和,也接近于现代积分。费马克服了卡瓦利里的方法缺点,几乎采用了现代积分的全过程,用小矩形面积近似小曲边形面积,最后用相当于和式极限的方法得到正确结果,他求了一个幂函数曲线下的曲边形的面积。之后还有华里斯(1616-1703,Wallis,J),罗贝瓦尔(1602-1675,Roberval)的工作。但上述这些人都没有提练出更有价值和普遍意义的东西,尽管费马已站在积分发明的大门口。

  微分的研究源于对切线,极值和运动速度等问题的处理。对于切线,早期有笛卡儿、罗贝瓦尔、托里拆利的工作。开普勒用列表法确定最大体积,注意到体积接近最大值时,由尺寸的变化引起体积的变化越来越小,这正是f′(X)=0的原始形式。费马的切线年发的手稿《求最大值和最小值的方法》中.巴罗(1630-1677,Barrow,I)的求切线方法,考虑了“微分三角形”(一边为dx,一边为dy,一边为ds),认识到Δy[]Δx的重要性。恩格斯称赞说:“当直线和曲线的数学可以说山穷水尽的时候,一条新的几乎无穷无尽的道路,由那种把曲线视为直线(微分三角形)并把直线视为曲线(曲率无限小的一次曲线)的数学开拓出来了。”

  在牛顿、莱布尼兹作最后冲刺前,微分、积分的知识已积累起来,尚未有人发现更具有本质,更有普遍意义的内涵,更谈不上指出两者之间的联系,尽管巴罗已认识到微分是积分之逆,费马的工作也到了微积分创立边缘,但是,他们没有能走出这最后、最高的一步,这一步归功于牛顿、莱布尼兹。

  2提炼方法。把解决各种具体问题的方法加以提炼,创立有普遍意义的微积分方法。

  3改变形式。变概念和方法论述的几何形式为解析形式,使它应用更广。

  依萨克·牛顿1642年12月25日生于英国林肯郡的一个小村庄里。他小时候对数学并无多大兴趣,进了大学后,欧氏几何考试成绩不佳,1661年考入剑桥大学三一学院,到1664年时他对数学发生了浓厚兴趣,1665-1666年在家乡躲避伦敦的鼠疫流行,这两年作了物理学、数学的许多重要发现。1665年5月20日的一页文件中有他关于“流数”(即导数)的记载,不妨将这一天作为微积分诞生的纪念日。1669年牛顿接替老师巴罗为剑桥大学教授,1703年任英国皇家学会会长直到逝世。1705年受英王册封为爵士。死后葬威斯特敏特大教堂。

  牛顿继承和总结了先辈的思想和方法作出自己独创的建树,伽利略,开普勒、费马、华里斯特别是老师巴罗对他有直接影响。1664年到1666年,牛顿提出流数理论,建立了一套求导数的方法,他把自己的发现称为“流数术”,牛顿是伟大的物理学家,他致力于物体的力和运动的研究,正如爱因斯坦(1878-1955,Einstein,A)在1942年12月25日纪念牛顿诞生300周年时所说:“速度和速度变率-在任何被设想为无大小的物质(质点)的运动的情况下,那就是加速度-这两个概念首先必须以数学的准确性来表达,这项任务导致牛顿发明了微积分的基础。”[9]

  牛顿称连续变化的量为流动量或流量(fluent),用英文字母表最后几个字母V、X、Y、Z等来表示,X的无限小的增量△X为X的瞬(X为时间时,即无限小的时间间隔为瞬(moment)),用小写字母o表示。流量的速度,即流量在无限小的时间间隔内的变化率,称为流数(fluxion of flutnt),用带点的字母,,,表示。牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分学[10],牛顿用有限差分的最初比和最终比来描述“流数”,如函数Y=Xn(n为正整数),流量X从X流动到X+o,函数值的增量(X+o) n-Xn,瞬o与增量之比(最初比),当o消失时,最后比即1:nXn-1,相当于dy[]dx=nXn-1。尽管没有明显的极限步骤,对瞬的性态也不太清楚,但牛顿不仅引入了导数,还明确了导数是增量比极限的思想。牛顿在1669年写的《运用无限多项方程的分析学》(1711年才出版)不仅给出求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,而且还证明了“面积可以由变化率的逆过程得到。”如果[0,X]区间上曲线)则它下面的曲边形面积为Z=a·xm (即∫x0ma·xm-1dx=axm)或dy[]dx=y,[]=y(牛顿记号),这一结论称为牛顿-莱布尼兹定理(微积分学基本定理),牛顿引入了分部积分法,变量代换法,1671年制作了积分表,又解决了极值,曲线拐点问题,提出了曲率公式,方程求根的切线法,曲线弧长计算方式,且得到许多重要函数的无穷级数表达式,牛顿为微积分的创立做了划时代的奠基工作,足迹几乎遍布每一个数学分支。他提出了牛顿-格里高里(1638-1675,Gregory, J)内插公式,后来被泰勒(1685-1731,Taylor.B)发展成为泰勒公式以至泰勒级数。甚至在基本停止数学研究之后,只用了晚饭前的一点余暇时间就解决了所谓“最速降线问题”,所求曲线即摆线,牛顿为变分学的建立作出杰出贡献。

  牛顿的著作迟迟不肯发表,有人认为他对新学科的基础不满意,也有人说他怕人家批评。牛顿的工作是创造性的,他认为,除了不屈不挠和保护警觉清醒这两点外和别人没有什么区别,当人们问他如何作出他的发现时,他总是回答说:“经常不断地想它们”。牛顿是审慎、严谨的,有着虚怀若谷的精神,他说:“若说我比笛卡儿看得更远一些的话,那是因为我站在巨人肩上的缘故。”他以天真的童心,把自己比作海边拾贝的孩子,寻找的是光滑的卵石和美丽的贝壳,在面前展现的是未知的大海。

  G.W.莱布尼兹1646年生于德国,微积分的思想最初体现在1675年的手稿中,1673-1676年之间得到微积分的研究的主要结果。他认识到求曲线的切线依赖于纵坐标,横坐标之差,求积依赖于无限薄矩形面积之和,求和与求差可逆,1675年,他断定一个事实,作为求和的过程的积分是微分的逆(即牛顿-莱布尼兹定理),他给出dxn=nxn-1dx,∫xn=xn+1[]n+1(n是整数或分数),1677年给出函数的和差积商微分公式[11],1680年给出弧微分和旋转体体积公式。莱布尼兹发明了许多至今仍在用的符号,如dx,dy[]dx,∫等等,他的工作大胆且富有想象力。

  牛顿首先是物理学家,速度是中心概念,多考虑流数之逆不定积分;莱布尼兹是哲学家,着眼于物质的构成最终是微粒,故注重求和,积分为无穷多个无限窄的矩形之和,多考虑的是定积分。但他们都清楚积分的两个方面。牛顿、莱布尼兹的最大功绩是将两个貌似不相关的问题-切线问题和求积问题联系起来,建立了两者的桥梁。

  牛顿对微积分是先发明(1665),后发表(1711);莱布尼兹则后发明(1675),先发表(1684、1686年先后发表第一篇微分学,第一篇积分学文章),于是发生了所谓“优先权”的争论,英国数学家捍卫他们的牛顿,指责莱布尼兹剽窃,而大陆的数学家支持莱布尼兹。事实上,他们彼此独立地创立了微积分。莱布尼兹称赞牛顿:“在从世界开始到牛顿生活的全部数学中,牛顿的工作超过了一半。”

  新的微积分学引进了与先辈的工作根本不同的概念和方法。经过牛顿、莱布尼兹的工作,微积分成为一门完全新的,要求有自身基础的学科,虽然数学家当时还没有意识到这一点,但他们确实已与过去决裂。

  初创的微积分学的许多概念和理论是含混不清的,如无穷小、极限等,其数学基础的建立有待于后世的数学家们给分析(分析,数学分析,有时为微积分的同义语)注入严密性,开始有布尔查诺(1781-1848,Bolzano,B),柯西,阿贝尔(1802-1829,Abel,N.H),狄里克莱(1805-1859,Dirichlet,P.G.L)的工作,由魏尔斯特拉斯进一步完善[12~15]。

  十七世纪的伟大成就是微积分,由此起源产生了数学的一些主要的新分支:微分方程、无穷级数,微分几何,变分法,复变函数,十八世纪的人们将致力于这些分支的发展。

  恩格斯指出,只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态,并且也表明过程、运动。他又说:“在一切理论成就中,未必再有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”。

  李约瑟博士认为,数学本身总要改造的,必须使数学本质更接近于物理学,服从于运动,不是从它的“现在”,而是从它的“变化”或“流动”来看问题,微积分就是这种改造运动的最高成就。数学思想和材料缓慢地积累了一百多年,突然在牛顿、莱布尼兹手中迸发出新方法、新观点的发明,数学达到了一个相当高的水平,英国诗人雪莱热情讴歌微积分学的诞生,把它比喻为雪崩:

  [1]解恩泽,等.数学思想方法纵横论[M].北京:科学出版社,1987.

  [3]杜石然.古代数学家刘徽的极限观念[J].数学通报,1954,(2).

  [4]李约瑟.中国科学技术史(第三卷)[M].北京:科学出版社,1978.

  [5]M.克莱因.古今数学思想(第二册)[M].北京:科学出版社,1979.

  [10]孙小礼.数学·科学·哲学[M].北京:光明日报出版社,1988.

  [11]卡尔.B.波耶.微积分概念史[M].上海:上海人民出版社,1977.

  [12]威廉.邓纳姆.天才引导的历程[M].苗锋,译.北京:中国对外出版公司,1994.

  [13]M.克莱因.古今数学思想(第四册)[M].上海:上海科学技术出版社,1981.

  [15]亚历山大洛夫.数学——它的内容、方法和意义[M].北京:科学出版社,1958.

  有很多数学家都参与了微积分的发明,因为那个时候以通信为主,不能明确谁先发明。做出最大贡献的是牛顿爵士和莱布尼兹,还有费马、伯努利家族也有参与。穷竭法是一种明确的极限方法,但微积分一开始是模糊的,如对无穷小量的理解。