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微积分是什么?

【本文关键词】金沙国际手机官网,卡瓦列里  来源:http://www.cdhone.com  作者:金沙国际手机官网   发布时间:2019-09-06

  微积分学(Calculus,拉丁语意为用来计数的小石头) 是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支,并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上,微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲,微积分学是一门研究变化的科学,正如几何学是研究形状的科学,代数学是研究代数运算和解方程的科学一样。

  微积分学在科学、经济学和工程学领域有广泛的应用,用来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来,并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行演绎。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出,微分和积分互为逆运算,这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学,但是在教学中一般会先引入微分学。在更深的数学领域中,微积分学通常被称为分析学,并被定义为研究函数的科学。

  微积分主要有三大类分支:极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算,牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究,而这个发现也使得我们在微分和积分之间可以互相转换。这个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法,也就是用不定积分法取代极限运算法。该理论也可以解决一些微分方程的问题,解决未知数的积分。微分问题在科学领域无处不在。

  微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等,运算方法主要有符号运算技巧,该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。

  微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。

  古代数学的思想更倾向于积分,但是并不严格、系统。积分的其中一个任务,即计算体积和面积,可以从埃及的莫斯克纸莎草手卷中找到(公元前1820年),它的公式也十分简单,没有写明方法,主要成分也残缺不齐。积分的起源很早,古希腊时期欧多克索斯(公元前408-355年)就用穷尽的方法来求特殊图形面积的研究。阿基米德(公元前287-212年) 用内接正多边形的周长来穷尽圆周长,而求得圆周率的近似值;也用一连串的三角形来填充抛物线的图形,以求得其面积。这些都是穷尽法的古典例子。中国的刘徽在公元三世纪左后也应用穷尽法求圆的面积。在公元五世纪左后,祖冲之得出了计算球体积的算法,它也被称之为卡瓦列里公式。

  发展现代微积分理论的一个动力是为了解决“切线问题”,另一个是“面积问题”。

  文艺复兴之后,基于实际的需要及理论的探讨,积分技巧有了进一步的发展。譬如为了航海的方便,杰拉杜斯·麦卡托发明了所谓的麦卡托投影法,使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。在欧洲,基础性的论证来自博纳文图拉·卡瓦列里,他认为体积和面积应该用求无穷小横截面的总量来计算。他的想法类似于阿基米德的《方法论》,但是卡瓦列里的手稿丢失了,直到20世纪初期再被找到。卡瓦列里的努力没有得到认可,因为他的方法的误差巨大,而且在当时无穷小也不受重视。

  17世纪的前半是微积分学的酝酿时期,观念在摸索中,计算是个别的,应用也是个别的。而后戈特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿两人几乎同时使微积分观念成熟,澄清微、积分之间的关系,使计算系统化,并且把微积分大规模使用到几何与物理研究上。

  在他们创立微积分以前,人们把微分和积分视为独立的学科,之后才确实划分出“微积分学”这门学科。

  在对微积分的正式研究中,皮埃尔·德·费马声称他借用了丢番图的成就,引入了“足量”概念,等同于误差的无穷小。可惜他未能体会两者之间的密切关系。约翰·沃利斯 (数学家)、伊萨克·巴罗和詹姆士·格里高利完成了组合论证。而牛顿的老师伊萨克·巴罗虽然知道两者之间有互逆的关系,但他不能体会此种关系的意义,其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何的成功给予西方数学非常深远的影响:一般认为唯有几何的论证方法才是严谨、真正的数学,代数不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费马倡导以代数的方法研究几何的问题,这种态度才渐有转变。可是一方面几何思维方式深植人心,而另一方面代数方法仍然未臻成熟,实数系统迟迟未能建立,所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能发展出有效的计算方法,巴罗便是其中之一。牛顿虽然放弃了他老师的纯几何观点而发展出了有效的微分方法,可是他迟迟未敢发表。牛顿利用了微积分的技巧,由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系,解决天体运动,流体旋转的表面,地球的扁率,摆线上重物的运动等问题。牛顿在解决数学物理问题时,使用了独特的符号来进行计算,实际上这些就是乘积法则、链式法则、高阶导数、泰勒级数和解析方程。但因害怕当时人的批评,所以在他1687年的巨著《自然哲学的数学原理》中仍把微积分的痕迹抹去,而以古典的几何论证方式论述。在其它著作中,牛顿使用了分数和无理数的乘幂,很明显,牛顿知道泰勒级数的定律。但是他没有发表这些发现,因为无穷小在当时仍然饱受争议。

  上述思想被戈特弗里德·威廉·莱布尼茨整合成为真正的无穷小版本的微积分,而牛顿指责前者抄袭。莱布尼茨在今天被认为是独立发明微积分的另一人。他的贡献在于风格严密,便于计算二次或更高级别的导数,以微分和积分的形式给出乘积法则和链式法则。与牛顿不同,莱布尼茨很注重形式,常常日复一日地研究妥当的符号。

  莱布尼茨和牛顿都被认为是独立的微积分发明者。牛顿最先将微积分应用到普通物理当中,而莱布尼茨制作了今天绝大多数的符号。牛顿、莱布尼茨都给出了微分、积分的基本方法,二阶或更高阶导数,数列近似值符号等。在牛顿的时代,微积分基本公式已经被世界知晓。

  当牛顿和莱布尼茨第一次发表各自的成果是,数学界就发明微积分的归属和优先权问题爆发一场旷日持久的大争论。牛顿最先得出结论,而莱布尼茨最先将其发表。牛顿称莱布尼茨从他未发表的手稿中抄袭,这个观点得到了牛顿所在的皇家学会支持。这场大纷争将使数学家分成两派:一派是英国数学家,捍卫牛顿;另一派是欧洲大陆数学家。结果是对英国数学家不利。日后的小心求证得出牛顿和莱布尼茨两人独立得出自己的结论。莱布尼茨从积分推导,牛顿从微分推导。在今天,牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。“微积分”之名与其使用之运算符号则是莱布尼茨所创,而牛顿将它称为“流数术”。

  微积分实际被许多人不断地完善,也离不开巴罗、笛卡儿、费马、惠更斯和沃利斯的贡献。最早的一部完整的有关有限和无穷小的分析著作被玛利亚·阿涅西于1748年总结编订。牛顿和莱布尼茨虽然把微积分系统化,但是它还是不够严谨。可是当微积分被成功地用来解决许多问题,却使得十八世纪的数学家偏向其应用,而少致力于其严谨。当时,微积分学的发展幸而掌握在几个非常优越的数学家,如欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔及伯努利世家等人的手里。研究的问题由自然现象而来,所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多推论,使微积分学不因基础不稳而隐含错误。在这些众数学家的手中,微积分学的范围很快地超过现在大学初阶段所授的微积分课程,而迈向更高深的解析学。

  微积分,是在历史的长河中,随着生产力;科学技术的逐步深入发展,人们感觉到简单的运算无法解决哪怕是稍微复杂一点的问题.例如,为计算抛物线拱券的弧长和面积,没有现成的公式可用,只好用近似计算:以直代曲.就是以拱形的底边为底作出很多小的直角梯形,用这些直角梯形的斜腰和来代替弧长,以这些直角梯形的面积的和来代替拱形的面积,问题就基本得到解决.当然也发现了所分的份数越多;越细;密越准确.这就是先微分再积分的原始过程.经过数学家几百年的努力,已经发展成:微分学和积分学组成的微积分学,已经构成现代数学发展的最牢固的基础.可以说没有微积分就没有人造卫星;载人航天....... 现阶段主要是在大学理工科学习,现在高中所学的一点微积分,只是为了帮助那些没有机会进一步学习数学的人形成对世界的理性认识的要求.不会在高考里出现的.当然因为有的中学生学习了微积分初步,如果能够用来解决数学或者物理的题目,不会有人反对的,包括那些高考评卷人员.